Nichtkonvexe Subdifferentiale in der Nichtglatten Optimierung

[function plot of |x<sub>1</sub>| + |x<sub>2</sub>| - 5/4*sqrt(x<sub>1</sub><sup>2</sup> + x<sub>1</sub><sup>2</sup>)] [directed/Rubinov subdifferential of |x<sub>1</sub>| + |x<sub>2</sub>| - 5/4*sqrt(x<sub>1</sub><sup>2</sup> + x<sub>1</sub><sup>2</sup>)]
weitere Visualisierungen

Projektstart: 2008

Geldgeber:

bis 2017: The Hermann Minkowski Center for Geometry an der Tel Aviv University, Israel

Projektbeteiligte

Projektleiter

Dr. Robert Baier und Dr. Elza Farkhi (Tel Aviv University, Israel)  

Externe Partner

Dr. Vera Roshchina (Collaborative Research Network (CRN), University of Ballarat, Australien)

Projektbeschreibung

In diesem Projekt werden die Einführung neuer nichtkonvexer Subdifferentiale für Teilklassen Lipschitz-stetiger Funktionen studiert, d.h. das gerichtete Subdifferential und seine Visualisierung, das Rubinov-Subdifferential. Subdifferentiale werden eingesetzt zur Beschreibung von notwendigen und hinreichenden Optimalitätsbedingungen für nichtglatte Optimierungsaufgaben. Dabei sind die Zielfunktion und die Funktionen zur Formulierung der zulässigen Menge durch Gleichungs- und Ungleichungsrestriktionen im Allgemeinen nur Lipschitz-stetig und nicht stetig differenzierbar, so dass hier Aussagen über die Gradienten und die Hesse-Matrizen nicht für alle zulässigen Punkte formulierbar sind.

Grundlegend für das Projekt ist die Verwendung von Einbettungen konvexer, kompakter Mengen in Vektorräume (z.B. in den Raum der gerichteten Mengen), in denen auch die Differenz eingebetteter konvexer Mengen zur Verfügung steht. Für wichtige Problemklassen, bei denen z.B. die Zielfunktion eine Differenz konvexer Funktionen (sogenannte DC-Funktionen) ist, kann das gerichtete Subdifferential auf eine Differenz der (eingebetteten) konvexen Subdifferentiale zurückgeführt werden. Die Visualisierung dieser Differenzen führt dann auf neue Subdifferentiale und betont dabei die Richtungsableitung, aus der strikte Optimialitätsbedingungen und Abstiegsrichtungen für Optimierungsmethoden gewonnen werden können.

Zusammenhänge zu anderen Subdifferentialbegriffen (Dini, Michel-Penot, Mordukhovich, Clarke sowei zum Quasidifferential von Demyanov/Rubinov) werden untersucht, wobei die üblichen Nachteile anderer Subdifferentiale größtenteils vermieden werden können. So gelten wichtige Rechenregeln mit Gleichheit statt als Inklusion und Voraussetzungen für Rechenregeln können abgemildert werden. Damit können die neuen Subdifferentiale komplizierter Funktionen auf diejenigen einfacher Funktionen zurückgeführt werden.

Die Projektleiterin Dr. Farkhi besuchte 2007, 20012, 2015 und 2018 Bayreuth zum wiederholten Male, im Herbst 2008 und im April 2011 (zusammen mit Vera Roshchina) sowie im Oktober 2012, im Februar 2014 und im Februar/März 2017 setzt der zweite Projektleiter durch Forschungsbesuche an der School of Mathematical Sciences der Universität Tel Aviv die Kooperation fort. Im Juli 2012 besuchte der Projektleiter Dr. Roshchina an der Universität Ballarat, im August 2012 kam es zum Gegenbesuch von Dr. Roshchina in Bayreuth, um neue Forschungsvorhaben abzustecken. Ein gemeinsames Ziel ist es, eine Ausdehnung der Ergebnisse auf noch größere Klassen von Optimierungsaufgaben zu erreichen, z.B. auf die Klasse der quasidifferenzierbaren Funktionen (die Richtungsdifferenz ist eine Differenz spezieller konvexer Funktionen) sowie auf lower-/upper-Ck- und amenable Funktionen.

Minisymposia/Sessions

Die Projektmitglieder waren Organisatoren der folgenden Minisymposia/Sessions zu verallgemeinerten Ableitungen:

Links

Publikationen

Hier finden Sie die Publikationen des Projekts.

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