Simpliziale Algorithmen zur Berechnung von Fixpunkten mengenwertiger Operatoren

K. Schilling: Simpliziale Algorithmen zur Berechnung von Fixpunkten mengenwertiger Operatoren
PhD thesis, 191 pp., Department of Mathematics, University of Bayreuth,
Wissenschaftlicher Verlag Trier (WVT), Trier, Germany, 1985

MR Nummer: 0832439
Zentralblattnummer: 0589.65044
Keywords: fixed point theorems; simplicial methods; multivalued operators; Merrill's algorithm; A-proper operators; convergence; normed spaces; collectively compact operators; ALGOL-program
Mathematics Subject Classification Code: 65H10 (47H10 49A50 90C30)


Abstract:

Das zentrale Thema der vorliegenden Arbeit sind konstruktive Beweismethoden für Fixpunktsätze, die nur auf Stetigkeits- und Kompaktheitsprinzipien basieren.

Die Vorteile simplizialer Fixpunktalgorithmen für stückweise affine Problemstrukturen werden hier besonders herausgearbeitet und ausgenutzt. Die Untersuchung von Konvergenzkriterien führt dabei zusammen mit den Approximationseigenschaften stückweise affiner Funktionen zu konstruktiven Beweisen von Fixpunktsätzen des Brouwer'schen Typs für Korrespondenzen im |Rn. In normierten Räumen werden Konvergenzbedingungen im Rahmen der Theorie A-eigentlicher Operatoren und der Theorie kollektiv-kompakter Operatoren studiert. Es resultieren hier vollständig konstruktive Beweise mengenwertiger Versionen von Fixpunktsätzen des Schauder'schen Typs. Eine Untersuchung der Anwendung dieser Verfahren zur Lösung von Randwertproblemen bei Differentialinklusionen schließt sich an. Im Bereich der Kontrolltheorie führt dies zu einer neuen indirekten Methode für die Berechnung optimaler Trajektorien.

Inhaltsverzeichnis:

I. Berechnung von Fixpunkten stückweise affiner Funktionen
§ 1. Grundlagen aus der kombinatorischen Topologie
1.1. Triangulationen
1.2. Stückweise affine Funktionen
1.3. Graphentheoretische Grundlagen
§ 2. Berechnung von Fixpunkten durch den Merrill'schen Algorithmus
2.1. Der Merrill'sche Algorithmus
2.2. Konvergenzbedingungen
II. Fixpunktsätze für mengenwertige Abbildungen
§ 3. Fixpunktsätze im |Rn
3.1. Mengenwertige Abbildungen
3.2. Sätze vom Brouwer'schen Typ
§ 4. Fixpunktsätze in normierten Räumen
4.1. Projektionsschemata und approximationseigentliche Operatoren
4.2. Sätze vom Schauder'schen Typ
III. Anwendungen
§ 5. Anwendungen bei Randwertproblemen und in der Kontrolltheorie
5.1. Randwertprobleme erster Ordnung
5.2. Berechnung optimaler Trajektorien
Anhang I. Einige Bezeichnungen aus der konvexen Analysis
Anhang II. Einige Elemente der Funktionalanalysis
a) Basen
b) Operatoren
c) Kompaktheitskriterien
Anhang III. Das Pontryagin'sche Maximumprinzip
Anhang IV. Numerische Aspekte des Merrill-Algorithmus 3.2.1
a) Darstellung von Algorithmus 3.2.1 als ALGOL-Programm
b) Hinweise zur effizienten Anwendung

Chair -

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