Konvergenz und numerische Realisierung von Mehrgitterverfahren und Diskretisierungsmethoden für Randwertaufgaben zweiter Ordnung

R. Baier: Konvergenz und numerische Realisierung von Mehrgitterverfahren und Diskretisierungsmethoden für Randwertaufgaben zweiter Ordnung
Diploma thesis, xix + 202pp., University of Bayreuth, July 1990

Keywords: Mehrgitterverfahren; lineare Randwertaufgaben zweiter Ordnung; Glättungs- und Approximationseigenschaft; Konsistenz und Stabilität von Diskretisierungsmethoden


Abstract:

In Kapitel 1 wird die Diskretisierung der gewöhnlichen linearen Randwertaufgabe in die allgemeine Diskretisierungstheorie eingebettet, und es wird dort Konsistenz und Stabilität (und damit Konvergenz) gezeigt. Dabei wurde erstens versucht, nicht nur Randbedinungen 1. Art, sondern auch 2. und 3. Art zu behandeln, und zweitens Struktureigenschaften (Erfülltsein des schwachen Zeilensummenkriteriums, Nichtnegativität der Inversen) der Diskretisierungsmatrix auszunutzen. Dabei wurden für bestimmte Randwertaufgaben verschiedene majorisierende Funktionen angegeben.
Der zweite Teil (Kapitel 2-5) beschäftigt sich dann ausschließlich mit dem Mehrgitterverfahren, das zur Lösung der durch die Diskretisierung der Randwertaufgabe gewonnenen linearen Gleichungssysteme verwendet wird. In Kapitel 2 wird zunächst der Algorithmus und seine Komponenten beschrieben, wobei stark auf den linearen Fall der Gleichungssysteme eingegangen wird.
Das Kapitel 3 stellt eine von drei möglichen Konvergenzbeweisen für das Verfahren vor, den Nachweis von Glättungs- und Approximationseigenschaft. Zudem wird der allgemeine Konvergenzsatz für das Zweigitterverfahren auf der Basis dieser Methode geführt, wobei auf die Möglichkeit der Vor- und Nachglättung eingegangen wird. Das Kapitel enthält auch theoretische Sätze, die bei Störung der Matrix, die die Glättungseigenschaft erfüllt, noch diese Eigenschaft beibehält. Zudem werden hinreichende Kriterien für die Approximationseigenschaft aufgelistet. Abschließend werden Beweise für die Konvergenz des Mehrgitterverfahrens basierend auf denen des Zweigitterverfahrens skizziert.
In Kapitel 4 wird dann für konkrete Randwertaufgaben die Glättungs- und Approximationseigenschaft nachgewiesen. Dabei konnten aber nur Randbedingungen der 1. Art erfasst werden.
Numerische Beispiele befinden sich in Kapitel5 zusammen mit einigen Plots. Im Anhang finden sich eine Beschreibung linearer Iterationsverfahren und des Programmes sowie das Programmlisting.

Contents:

1. Diskretisierung der gewöhnlichen linearen Randwertaufgabe
1.1 Problemstellung
1.2 Kurze Darstellung der allgemeinen Diskretisierungstheorie
1.3 Diskretisierung der Randwertaufgabe
1.4 Konsistenz der Diskretisierungsmethode
1.5 Struktureigenschaften der diskreten Gleichungen
1.6 Stabilität mit Hilfe von majorisierenden Funktionen
1.7 Angabe von majorisierenden Funktionen für die Randwertaufgabe und Konvergenzsatz
2. Vorstellung des Mehrgitterverfahrens
2.1 Einführende Bezeichnungen
2.2 Iterative Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme
2.3 Idee des Zwei- und des Mehrgitterverfahrens
2.4 Restriktion und Prolongation
2.5 Algorithmus
3. Allgemeine Konvergenzaussagen für das Mehrgitterverfahren
3.1 Die Faktorisierung der Iterationsmatrix und ihr Zusammenhang mit Glättung und Grobgitterkorrektur
3.2 Konvergenz des Zweigitterverfahrens mit Vor- und Nachglättung
3.3 Kriterien für die Glättungseigenschaft
3.4 Kriterien für die Approximationseigenschaft
3.5 Konvergenz des Mehrgitterverfahrens
4. Nachweis der Konvergenz des Mehrgitterverfahrens für die Diskretisierung
4.1 Glättungseigenschaft von Varianten des Gauß-Jacobi-Verfahrens
4.2 Glättungseigenschaft von Varianten des Gauß-Seidel-Verfahrens
4.3 Nachweis der Approximationseigenschaft
4.4 Konvergenz des Mehrgitterverfahrens
5. Numerische Beispiele
  Anhang:
A. Lineare Iterationsverfahren
B. Kurze Programmbeschreibung
C. Programmlisting

Chair -

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