Mengenwertige Integration und die diskrete Approximation erreichbarer Mengen

R. Baier: Mengenwertige Integration und die diskrete Approximation erreichbarer Mengen
PhD thesis, xix+202 pp., Department of Mathematics, University of Bayreuth, Germany, 1994

Keywords: mengenwertige Integration; erreichbare Mengen; Aumann-Integrale; Newton-Cotes-Formeln; Romberg-Integration; Quadraturformeln; Differentialinklusionen
Download as PDF


Abstract:

Die Dissertation beschäftigt sich mit der numerischen Integration von mengenwertigen Abbildungen. Der Hauptansatz benutzt dabei zwei Tatsachen, erstens ist das Aumann-Integral einer mengenwertigen Abbildung F: [0,T] → ℜn unter schwachen Voraussetzungen eine konvexe Menge und kann daher mit seiner Stützfunktion äquivalent beschrieben werden, zweitens ist der Wert seiner Stützfunktion in jeder Richtung gleich dem Integral der Stützfunktion des Integranden F in derselben Richtung. Zur Berechnung solcher Integrale kann dann eine beliebige Quadraturformel für punktwertige Funktionen verwendet werden. Die Genauigkeit der Approximation hängt dabei von der gewählten Quadraturformel und von ``Glattheitseigenschaften'' der Stützfunktion ab.
Die Realisierung dieses Ansatzes und die zugehörige Fehleranalyse basieren auf mathematischen Hilfsmitteln, die in dieser Dissertation ausführlich dargestellt werden: Arithmetik von Mengen, Elemente der Konvexen Analysis (insbesondere Eigenschaften der Stützfunktion), Glattheitsmoduli, Eigenschaften des Aumann-Integrals und Fehlerabschätzungen für klassische Quadraturverfahren (Newton-Cotes, Gauß, Romberg, ...).
Der Ansatz führt zu einer Vielzahl von mengenwertigen Quadraturverfahren und entsprechender Fehlerabschätzungen. Ein eigenes Kapitel widmet sich der numerischen Approximation von erreichbaren Mengen linearer Kontrollprobleme, für die ebenfalls Fehlerabschätzungen gewonnen werden. Schließlich werden mögliche Implementierungen am Rechner diskutiert und zahlreiche Beispiele und Plots zur Verfügung gestellt.

Contents:

0. Hilfsmittel
0.1 Operationen von Mengen und Stützfunktionen
0.2 Variation von Funktionen und Glattheitsmoduli
1. Mengenwertige Integration und numerische Verfahren
1.1 Eigenschaften des Aumann-Integrals
1.2 Konvergenzsätze für numerische Verfahren
1.3 Newton-Cotes-Verfahren
1.4 Gauß-Quadratur-Verfahren
1.5 Romberg-Verfahren
1.6 Charakterisierungen und Beispiele glatter Stützfunktionen
2. Berechnung erreichbarer Mengen linearer Differentialinklusionen
2.1 Eigenschaften erreichbarer Mengen
2.2 Quadraturverfahren zur Berechnung der erreichbaren Mengen
2.3 Kombinationsverfahren
3. Anwendungen
3.1 Implementierung der Algorithmen
3.2 Beispiele zur Integration
3.3 Beispiele zur Bestimmung erreichbarer Mengen

Chair -

|  University of Bayreuth -