Über zwei Jahrtausende Finite Elemente - Von Eudoxos bis zur Hyperthermietherapie

F. Lempio: Über zwei Jahrtausende Finite Elemente - Von Eudoxos bis zur Hyperthermietherapie
in: Department of Mathematics, University of Bayreuth (eds.)
Bayreuther Mathematische Schriften 56, Bayreuth, Germany, 1999, 59 - 78

Smart-Link: http://bms.math.uni-bayreuth.de/all_books.html#vol_56
ISBN/ISSN/ISMV Nummer: 0172-1062
MR Nummer: 1717093
Zentralblattnummer: 0932.01002
Keywords: exhaustion method; variational method; finite elements
Mathematics Subject Classification Code: 01A99 (65-03 65N30)


Abstract:

Schon von Eudoxos und Archimedes wurden in der sogenannten Exhaustionsmethode zur Berechnung von Flächen und Rauminhalten Finite Elemente benutzt, d.h. geometrische Objekte, die aus elementaren Objekten zusammengesetzt sind, die durch endlich viele Daten komplett beschrieben werden können.

Dieses Wissen ging in der Zeit zwischen Antike und Renaissance in Europa beinahe vollständig verloren. Nur dem Einfluß persisch-arabischer und italienischer Mathematiker und dem Wirken von Klosterschulen und kirchlichen Beratern ist es zu verdanken, daß einige Rechenfertigkeiten überliefert und weiterentwickelt wurden. In der Renaissance tauchen überraschenderweise künstlerische Darstellungen von zusammengesetzten finiten Elementen auf. Leonardo da Vinci zeichnet im Rahmen von Bewässerungsprojekten turbulente Strömungen. Erst vier Jahrhunderte später wird sich herausstellen, daß man solche Strömungen mit Finiten Elementen berechnen kann.

Leonhard Euler war dann der erste, der zusammengesetzte finite Elemente optimiert hat mit dem Ziel, Variationsprobleme bzw. Randwertaufgaben für Differentialgleichungen zu lösen. Auch sein Ansatz wurde fast zwei Jahrhunderte lang nicht als numerische Methode verstanden, sondern als Konzept für theoretische Untersuchungen und für die Bestimmung geschlossener Lösungen in speziellen Fällen.

Erst nach der Entwicklung elektronischer Rechenanlagen wurde interessanterweise zunächst von Ingenieuren die Finite Element-Methode neu entdeckt und, in Zusammenarbeit mit Mathematikern, zu der leistungsfähigsten Methode zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen aus den verschiedensten natur- und ingenieurwissenschaftlichen Anwendungsgebieten entwickelt.

Diese Arbeit entstand auf der Grundlage eines Vortrags im Rahmen einer Lehrerfortbildungsveranstaltung für Gymnasiallehrer an der Universität Bayreuth.

Inhaltsverzeichnis:

1. Einleitung
2. Eudoxos und Archimedes
3. Von der Antike zur Renaissance
4. Eulers Grundidee der Finite Element-Methode
5. Wiederentdeckung und Anwendung der Finite Element-Methode

Chair -

|  University of Bayreuth -