Über Modellierung, Analysis und Simulation von Stofftransport auf Wurzeln in strukturierten Böden

T. Fischer: Über Modellierung, Analysis und Simulation von Stofftransport auf Wurzeln in strukturierten Böden
PhD thesis, 153 pp., Department of Mathematics, University of Technology in Darmstadt,
Darmstadt, Germany, 2002

Smart-Link: http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/258/
Zentralblattnummer: 1141.92329
Keywords: Advektion-Diffusionsgleichung; Graph; Singuläre Störung; Maximumprinzip; Boden; Wurzel; Wassertransport; Ionentransport; Mathematisches Modell; Simulation
Mathematics Subject Classification Code: 92C80 (65C20 35Q80 92-02)


Abstract:

Die vorliegende Arbeit entstand im Zusammenhang mit einem Projekt, dessen Fernziel die Simulation des Wasser- und Stoffhaushalts in einem Boden-Wurzel-System war. Erstmalig sollten dabei die Prozesse in der Wurzel durch partielle Differentialgleichungen auf einem Netzwerk, welches in seiner Geometrie der Wurzel entspricht, abgebildet werden. Da dies jedoch eine mathematische Arbeit ist, geht es nicht vorrangig um eine möglichst realistische Simulation der Prozesse, sondern darum, numerische Verfahren anzugeben, die für eine derartige Simulation geeignet sind.

In Kapitel 1 werden die Gleichungen dargestellt, um die es sich im weiteren Verlauf der Arbeit dreht. Erarbeitet werden in diesem Zusammenhang die quasi-eindimensionale Betrachtung der Gleichungen entlang der Wurzeläste, sinnvolle Bedingungen an den Wurzelknoten, durch die diese Gleichungen gekoppelt werden und schließlich ein Modell für die Kopplung von Wurzel und Boden.

Im Bereich der Analysis konzentrieren wir uns auf lineare singulär gestörte Differentialglei-chungen zweiter Ordnung auf Netzwerken. Damit wird ein erster Schritt bei der Untersuchung der Diffusions-Advektions-Reaktions-Gleichungen mit kleinem Diffusionsterm gemacht, die den Stofftransport entlang der Wurzel beschreiben. Partielle Differentialgleichungen auf Netzwerken sind gerade in letzter Zeit Gegenstand diverser Arbeiten. Nach Kenntnis des Autors gibt es jedoch bislang keine Veröffentlichung mit Fokus auf singulär gestörte Probleme. In Kapitel 2 wird versucht, eine entsprechende Theorie für Netzwerk-Differentialgleichungen zu erarbeiten. Dabei ist ein gewisses Augenmerk auch darauf gerichtet, dass möglichst wenig Anforderungen an die Regularität der Koeffizienten der Differentialgleichungen gestellt werden müssen. Denn diese sind nicht von vorne herein gegeben, sondern werden ihrerseits aus der Lösung der Gleichung für denWassertransport erhalten. Auch Netzwerk-Differentialgleichungen erster Ordnung werden betrachtet. Sie treten im Grenzfall bei verschwindenden Diffusionskoeffizienten auf.

Kapitel 3 befasst sich zunächst mit der Problematik der Lösung linearer elliptischer Netzwerk-Differentialgleichungen mittels der Finite-Elemente- Methode. Es bietet sich die Anwendung von Bereichszerlegungsverfahren an, aber auch die direkte Lösung mit Hilfe eines variationellen Ansatzes auf dem gesamten Netzwerk. Schließlich können diese beiden Alternativen in Form einer beliebigen Zerlegung des Netzwerks in Teilnetzwerke miteinander kombiniert werden. Weitere Schwierigkeiten bereitet die Tatsache, daß die Lösung der für die Anwendung relevanten singulär gestörten Differentialgleichungen mit Finiten Elementen generell problematisch ist. Das ist wohlbekannt, und es gibt auch einige bewährte Abhilfen, wie künstliche Diffusion und Upwind- Schemata. Hier schlagen wir einen etwas anderen Weg ein und nehmen ein anderes in der Literatur beschriebenes Verfahren als Grundlage. Denn dieses ist dazu geeignet, eine spezielle Knotenbedingung, die im Grenzfall bei verschwindender Diffusion auftritt und in Kapitel 2 hergeleitet wird, auszunutzen. In der Simulation wird, sowohl im Boden als auch entlang der Wurzel, Wassertransport mit der Methode von Jäger und Kacur und Stofftransport mit dem impliziten Euler-Zeitdiskretisierungsschema gelöst. Für die linearen Probleme, die dafür jeweils gelöst werden müssen, werden die zuvor vorgestellten Verfahren benutzt. Die Kopplung von Boden und Wurzel geschieht in expliziter Form auf dem zeitdiskreten Niveau, indem zu jedem Zeitschritt Wasser- und Stoffaustauschraten festgelegt werden, die auf dem Zustand des vorherigen Zeitschritts beruhen. Dies alles wird schließlich in einem Simulationsbeispiel für ein einfaches Boden-Wurzel-Modell getestet.

Chair -

|  University of Bayreuth -