Nichtkonvexe Subdifferentiale in der nichtglatten Optimierung
Projektstart: 2008
Geldgeber:
bis 2017: The Hermann Minkowski Center for Geometry an der Tel Aviv University, Israel
PROJEKTBETEILIGTE
Projektleiter
Dr. Robert Baier und Dr. Elza Farkhi (Tel Aviv University, Israel)
Externe Partner
Dr. Vera Roshchina (Collaborative Research Network (CRN), University of Ballarat, Australien)
PROJEKTBESCHREIBUNG
In diesem Projekt werden die Einführung neuer nichtkonvexer Subdifferentiale für Teilklassen Lipschitz-stetiger Funktionen studiert, d.h. das gerichtete Subdifferential und seine Visualisierung, das Rubinov-Subdifferential. Subdifferentiale werden eingesetzt zur Beschreibung von notwendigen und hinreichenden Optimalitätsbedingungen für nichtglatte Optimierungsaufgaben. Dabei sind die Zielfunktion und die Funktionen zur Formulierung der zulässigen Menge durch Gleichungs- und Ungleichungsrestriktionen im Allgemeinen nur Lipschitz-stetig und nicht stetig differenzierbar, so dass hier Aussagen über die Gradienten und die Hesse-Matrizen nicht für alle zulässigen Punkte formulierbar sind.
Grundlegend für das Projekt ist die Verwendung von Einbettungen konvexer, kompakter Mengen in Vektorräume (z.B. in den Raum der gerichteten Mengen), in denen auch die Differenz eingebetteter konvexer Mengen zur Verfügung steht. Für wichtige Problemklassen, bei denen z.B. die Zielfunktion eine Differenz konvexer Funktionen (sogenannte DC-Funktionen) ist, kann das gerichtete Subdifferential auf eine Differenz der (eingebetteten) konvexen Subdifferentiale zurückgeführt werden. Die Visualisierung dieser Differenzen führt dann auf neue Subdifferentiale und betont dabei die Richtungsableitung, aus der strikte Optimialitätsbedingungen und Abstiegsrichtungen für Optimierungsmethoden gewonnen werden können.
Zusammenhänge zu anderen Subdifferentialbegriffen (Dini, Michel-Penot, Mordukhovich, Clarke sowei zum Quasidifferential von Demyanov/Rubinov) werden untersucht, wobei die üblichen Nachteile anderer Subdifferentiale größtenteils vermieden werden können. So gelten wichtige Rechenregeln mit Gleichheit statt als Inklusion und Voraussetzungen für Rechenregeln können abgemildert werden. Damit können die neuen Subdifferentiale komplizierter Funktionen auf diejenigen einfacher Funktionen zurückgeführt werden.
Die Projektleiterin Dr. Farkhi besuchte 2007, 20012, 2015 und 2018 Bayreuth zum wiederholten Male, im Herbst 2008 und im April 2011 (zusammen mit Vera Roshchina) sowie im Oktober 2012, im Februar 2014 und im Februar/März 2017 setzt der zweite Projektleiter durch Forschungsbesuche an der School of Mathematical Sciences der Universität Tel Aviv die Kooperation fort. Im Juli 2012 besuchte der Projektleiter Dr. Roshchina an der Universität Ballarat, im August 2012 kam es zum Gegenbesuch von Dr. Roshchina in Bayreuth, um neue Forschungsvorhaben abzustecken. Ein gemeinsames Ziel ist es, eine Ausdehnung der Ergebnisse auf noch größere Klassen von Optimierungsaufgaben zu erreichen, z.B. auf die Klasse der quasidifferenzierbaren Funktionen (die Richtungsdifferenz ist eine Differenz spezieller konvexer Funktionen) sowie auf lower-/upper-Ck- und amenable Funktionen.
MINISYMPOSIA/SESSIONS
Die Projektmitglieder waren Organisatoren der folgenden Minisymposia/Sessions zu verallgemeinerten Ableitungen:
- Minisymposium "Generalized Differentiation and Applications"
Konferenz: ISMP 2012, 21st International Symposium on Mathematical Programming in Berlin
Organisation: Robert Baier, Vera Roshchina (Collaborative Research Network, University of Ballarat, Australien)
- Minisymposium "Generalized Differentiation and Applications in Optimization I-II"
Konferenz: IFIP 2011, 25-th TC7 Conference on System Modeling and Optimization in Berlin
Organisation: Robert Baier, Vera Roshchina (Universität Évora, Portugal)
- Minisymposium "Generalized Differentiation and Applications to Control Problems"
Konferenz: IFIP 2011, 25-th TC7 Conference on System Modeling and Optimization) in Berlin
Organisation: Robert Baier, Vera Roshchina (Universität Évora, Portugal)
- Eingeladene Session "Generalized differentiation and applications"
Arbeitstreffen: EUROPT 2010 Arbeitstreffen "Advances in Continuous Optimization" an der Universität Aveiro, Portugal
Organisation: Vera Roshchina (Universität Évora, Portugal)
Das EUROPT 2010-Arbeitstreffen war ein in die EURO 2010-Konferenz in Lissabon, Portugal eingebetteter Workshop. Bitte vergleichen Sie auch das Programm des Arbeitstreffens.