DFG-Projekt „Analyse zufälliger Transportvorgänge in Ketten mittels moderner Methoden aus System- und Kontrolltheorie“
Projektstart: 2022, Projektende: 2025
Projektnummern: GR 1569/24-1, KR 1673/24-1
Geldgeber: DFG (Sachbeihilfen)
PROJEKTBETEILIGTE
Projektleiter
Prof. Dr. Lars Grüne und Prof. Dr. Thomas Kriecherbauer
Projektmitglied
PROJEKTBESCHREIBUNG
Zufällige Transportvorgänge in Ketten werden oft durch zeitstetige Markovprozesse auf endlichen, diskreten Zustandsräumen modelliert. In diesem Projekt betrachten wir solche Prozesse, in denen die Übergangsraten entweder deterministisch und periodisch oder durch Zufallsvariablen gegeben sind. Beide Fälle sind in hohem Maße anwendungsrelevant: periodische Anregung ist allgegenwärtig in der Systembiologie, wo Organismen dem 24-Stunden Tagesrythmus ausgesetzt sind, in der Epidemiologie, wo Infektionsraten jährlichen Schwankungen unterliegen und in Verkehrsmodellen, wo Ampeln mit periodischen Phasen betrieben werden. Zufällige Raten werden üblicherweise verwendet, um Unsicherheiten oder Veränderungen in den exakten Werten zu modellieren. Eine aktuelle Arbeit betrachtet z.B. den Prozess der mRNA-Transkription, in der die Transkriptionsraten der Ribosome entlang der mRNA-Molekülkette als Zufallsvariablen modelliert werden. In dieser und in vielen anderen Anwendungen sind stochastische Modelle der Art, die wir untersuchen wollen, sehr populär geworden.
Daher sollen neben der mathematischen Analyse, die den Kern dieses Projekts darstellt, auch Anwendungsmöglichkeiten in Biologie und Physik betrachtet werden. Zentral für die mathematische Analyse sind verschiedene Klassen hochdimensionaler Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Diese umfassen die sogenannte Mastergleichung (manchmal auch Pauli-Mastergleichung genannt) sowie Mean-Field-Approximationen dieser Gleichung unterschiedlicher Genauigkeitsgrade. Aktuelle Resultate der Antragsteller zeigen, dass sowohl die Lösungen der Mastergleichung als auch die Lösungen gewisser Mean-Field-Approximationen in der Systembiologie (unter geeigneten Bedingungen) gegen eine eindeutige periodische Grenzlösung konvergieren. Moderne Methoden aus der System- und Kontrolltheorie wie die Theorie von kooperativen und kontrahierenden Systemen waren wesentlich für diese Resultate. Die Antragsteller haben vor Kurzem ebenfalls die Existenz eines zufälligen Attraktors für eine große Klasse von zufälligen dynamischen Systemen beruhend auf irreduziblen Markovprozessen mit endlichen Zustandsraum bewiesen. Dieses Ergebnis soll im Rahmen dieses Projekts auf zufällige dynamische Systeme mit periodischen Koeffizienten verallgemeinert werden.
Ausgehend von diesen Ergebnissen hat das Projekt die folgenden Ziele:
- das Verständnis des Verhaltens von stochastischen Systemen mit periodischen Koeffizienten für unterschiedliche Modellklassen: Mastergleichungen, Mean-Field-Approximatioesn und zufällige dynamische Systeme
- das Verständnis der Beziehungen zwischen diesen Modellklassen, sowohl qualitativ als auch quantitativ
- der Entwurf von periodischen Lösungen mit optimalem Verhalten, z.B. maximalem Durchsatz in Verkehrsmodellen
Zum Erreichen dieser Ziele werden sowohl analytische als auch numerische Methoden verwendet, mit einem starken Fokus auf Methoden aus der mathematischen System- und Kontrolltheorie.
Siehe auch die GEPRIS-Seite des Projekts.