News

Die Stokes-Gleichungen beschreiben das laminare Fließen von homogenen, viskosen Flüssigkeiten. In diesem Vortrag betrachten wir die Strömung durch Porenräume von Gesteinen auf der Mikrometer- bis Millimeterskala. Die Rechengebiete ergeben sich aus hochaufgelösten 3D-Mikrotomographiescans von Gesteinsproben und bestehen aus der Vereinigung der Voxel, die dem Porenraum zugeordnet werden. Die so entstehenden Gebiete haben daher eine komplexe Geometrie mit vielen dünnen Kanälchen. Durch Lösen der Stokes-Gleichungen auf solchen Gebieten kann man etwa die Permeabilität des Gesteins berechnen. Die Diskretisierung der stationären Stokes-Gleichungen (etwa durch FV oder FE) führt auf Sattelpunktprobleme, die insbesondere indefinit sind. Bei o.g. Anwendung werden diese sehr groß und es werden typischerweise parallele iterative Löser bevorzugt.

Im Falle von einfacher Gebietsgeometrie (etwa einer Box) sind optimale Lösungsstrategien bekannt: Zum Beispiel ist MINRES in Verbindung mit einem AMG-V-Cycle pro Krylov-Schritt angewandt auf einen spektral-äquivalenten Operator zum Stokes-Schur-Komplement ein solcher. Die Anzahl der Krylov-Schritte ist dann bei fester Raumdimension unabhängig von der Gitterweite beschränkt. Sowohl die Assemblierung der diskreten Operatoren als auch MINRES und AMG sind ideal verteilt-parallelisierbar, was die effiziente Lösung von "large-scale"-Problemen auf Tausenden von CPU-Kernen ermöglicht. Lässt man allerdings komplexe Gebietsgeometrien zu, wächst die Anzahl der Schritte mit steigender Komplexität stark an und diese Methode ist nicht mehr performant.

Für eben diesen Fall haben meine Kollegen und ich einen Vorkonditionierungsoperator gefunden, der die Anzahl der Iterationen signifikant reduziert (etwa auf bis zu einem Drittel in unseren Benchmarks) gegenüber des etablierten Vorkonditionierungsoperators. Dieser Operator wird motiviert durch die Homogenisierungstheorie poröser Medien und validiert u.a. durch die (numerische) Berechnung des Spektrums des vorkonditionierten Sattels.